Question

已知双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点．
（1）当a=

3

，b=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：y=kx+

1

2

与y轴交于点P，与椭圆交与A，B两点，若O为坐标原点，△AOP与△BOP面积之比为2：1，求直线l的方程；
（3）若a=1，椭圆C与直线l'：y=x+5有公共点，求该椭圆的长轴长的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点，设椭圆方程，将a=

3

，  b=1代入，可得椭圆C的方程；
（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），联立椭圆和直线的方程，利用韦达定理及x₁=-2x₂，即可求直线l的方程；
（3）联立椭圆和直线的方程，利用判别式大于等于0，即可求得结论．

解答：解：（1）设双曲线的焦点为（±c，0）（c＞0），则椭圆C的方程为

x2

c2

+

y2

b2

=1，其中c²=a²+b²
将a=

3

，  b=1代入，可得椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|x₁|：|x₂|=2：1，可知．
联立椭圆和直线的方程，得

x2 4 +y2=1 y=kx+ 1 2

，消元得(k2+

1

4

)x2+kx-

3

4

=0，可知x1+x2=

-k

k2+ 1 4

，x1x2=

- 3 4

k2+ 1 4

，即x₁与x₂异号，所以x₁=-2x₂．
代入上式，得-x2=

-k

k2+ 1 4

，  -2

x

2 2

=

- 3 4

k2+ 1 4

，消元，得k=±

15

10

．
所以直线方程为l：y=±

15

10

x+

1

2

（3）联立椭圆和直线的方程，得方程组

x2 c2 + y2 b2 =1 y=x+5

，其中c²=b²+1
消去y，可得（

1

b2+1

+

1

b2

）x²+

10

b2

x+

25

b2

-1=0
∴△=(

10

b2

)2-4(

1

b2+1

+

1

b2

)(

25

b2

-1)≥0，
解得b²≥12，所以c²≥13，当且仅当b=2

3

，  c=

13

时长轴长最短，是2

13

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．