Question

已知椭圆与双曲线

x2

3

-y2=1有共同的焦点，且过点P（2，3），求双曲线的渐近线及椭圆的方程．

Answer 1

分析：先把曲线的标准标准方程，其渐近线方程是

x2

3

-y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．利用椭圆与双曲线有共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），设出椭圆方程，再利用点P（2，3）适合椭圆方程，就可求出椭圆的方程．

解答：解：双曲线的标准形式为

x2

3

-y2=1，
其渐近线方程是

x2

3

-y2=0，
整理得双曲线的渐近线为：x±

3

y=0．
由共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，
点P（2，3）在椭圆上，

4 a2 + 9 b2 =1 a 2-b 2=4

，
∴a²=16，b²=12，
所以椭圆方程为：

y2

16

+

x2

12

=1．

点评：本题考查本题考查双曲线的标准方程，以及椭圆的标准方程的求法，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．