Question

已知椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆方程为，由椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点可得c值，由离心率可得a值，根据 平方关系可得b；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由=2，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，△AOB的面积S=S_△OAP+S_△OBP=，根据韦达定理及弦长公式即可求得答案；
解答：解：（I）设椭圆方程为，
因为椭圆与双曲线有相同焦点，
所以c=，再由e=可得a=2，∴b²=a²-c²=2，
故所求方程为；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由=2，得，
设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得，
若，，
则-=2，
解得，
又△AOB的面积S=S_△OAP+S_△OBP====，
故所求△AOB的面积是．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查平面向量的基本运算，解决（II）问的关键是恰当表示出△AOB的面积．