Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₂=2a₁+3，且3a₂，a₄，5a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知条件建立等式，转化成首项和公比，解之即可求出所求；
（II）先求出数列{a_nb_n}的通项公式，根据通项公式的特点利用错位相消法进行求和，从而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由题意得q＞0，
且

a2=2a1+3 3a2+5a3=2a4，

即

a1(q-2)=3 2q2-5q-3=0

解得

a1=3 q=3

或

a1=- 6 5 q=- 1 2

（舍去），
所以数列{a_n}的通项公式为an=3×3n-1=3n，n∈N*．．    …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=log₃a_n=n，所以anbn=n•3n．
所以Sn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n，
所以3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n•3n+1，
两式相减得2Sn=-(3+32+33+…+3n)+n•3n+1=

-3(1-3n)

1-3

+n•3n+1=

3+(2n-1)•3n+1

2

，
即Sn=

3+(2n-1)•3n+1

4

．                             …（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，同时考查了计算能力，属于基础题．