题目内容

【题目】已知数列满足,且

(Ⅰ)求证:数列是等比数列;

(Ⅱ)设是数列的前项和,若对任意的都成立,求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

【解析】试题分析:

(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值,计算首项为即可证得数列为等比数列;

(2)原问题转化为对任意的都成立,分类讨论可得:实数的取值范围是

试题解析:

(Ⅰ)因为

所以

所以

所以数列是首项为,公比为的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,即

要使对任意的都成立,

(*)对任意的都成立. 

①当为正奇数时,由(*)得,

因为

所以对任意的正奇数都成立,

当且仅当时,有最小值1,

所以

②当为正偶数时,由(*)得,

因为

所以对任意的正偶数都成立.

当且仅当时,有最小值,所以

综上所述,存在实数,使得对任意的都成立,

故实数的取值范围是

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