题目内容
【题目】已知数列满足
,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)设是数列
的前
项和,若
对任意的
都成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值,计算首项为
即可证得数列为等比数列;
(2)原问题转化为对任意的
都成立,分类讨论可得:实数
的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)因为,
,
,
所以,
所以,
又,
所以数列是首项为
,公比为
的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,即
,
则
.
又
,
要使对任意的
都成立,
即(*)对任意的
都成立.
①当为正奇数时,由(*)得,
,
即,
因为,
所以对任意的正奇数
都成立,
当且仅当时,
有最小值1,
所以.
②当为正偶数时,由(*)得,
,
即,
因为,
所以对任意的正偶数
都成立.
当且仅当时,
有最小值
,所以
.
综上所述,存在实数,使得
对任意的
都成立,
故实数的取值范围是
.
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