Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a．b．c，且a2-(b-c)2=(2-

3

)bc，sinAsinB=cos2

C

2

，BC边上中线AM的长为

7

．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）将a2-(b-c)2=(2-

3

)bc展开，根据余弦定理可求出cosA的值，进而得到角A的值；将角A的值代入sinAsinB=cos2

C

2

，再运用余弦函数的二倍角公式可得到sinB=1+cosC，再由B+C=

5

6

π可求出角C的值，最后根据三角形内角和为180°得到角B的值．
（2）先设出AC的长，根据余弦定理可求出x，再由三角形的面积公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由a2-(b-c)2=(2-

3

)bc得a2-b2-c2=-

3

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，A=

π

6

.
由sinAsinB=cos2

C

2

，得

1

2

sinB=

1+cosC

2

即sinB=1+cosC
则cosC＜0，即C为钝角，故B为锐角，且B+C=

5

6

π
则sin(

5

6

π-C)=1+cosC?cos(C+

π

3

)=-1?C=

2

3

π故B=

π

6

．
（Ⅱ）设AC=x，由余弦定理得AM2=x2+

x2

4

-2x•

x

2

•(-

1

2

)=

7

2
解得x=2故S△ABC=

1

2

•2•2•

3

2

=

3

．

点评：本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用．在做这种题型时经常要用三内角之间的相互转化，即用其他两个角表示出另一个的做法．