Question

使得函数的值域为的实数对
有(    )对

A．1

B．2

C．3

D．无数

Answer 1

B

解析试题分析：为开口向上的抛物线，所以x在[2，+∞)上单调递增，在(-∞，2]上单调递减
（1） 2≤a<b，此时[a，b]在f(x)的单调增区间上则最大值b=f(b)，最小值a=f(a)，即a、b为方程x=f(x)的两根。
x=，即=0的两根为a、b，
由韦达定理，ab=-7，即a、b异号，这与0<2<a<b矛盾，所以这种情况不可能。
（2） a<b≤2，此时[a，b]在f(x)的单调减区间上，
则最大值b= ①，最小值a= ②
由①-②，得，
由于a<b，所以a-b≠0，可得-1=，a+b=-1可得a=-1-b，将其代入①，得且b=-1-a，将其代入②，的， 则a、b为方程的两根，，解得x=1，-2，由于a<b，所以a=-2，b=1，满足a<b≤2，所以(a，b)=(-2，1)是一组解。
（3） a<2<b，此时[a，b]包含x=2
则最小值a=f(2)=-，满足a<2，而f(x)在[a，2]上单调减，在[2，b]上单调增
所以最大值为f(a)或f(b)，最大值须进一步分类讨论：
注意到|a-2|=，所以进行如下分类：
1° |b-2|>，即b>
此时由于|b-2|>|a-2|，f(b)= >f(a)= 即最大值，
b="f(b)=" ，，解得b=其中b=满足b>，
所以(a，b)="(" ， )是另一组解；
2° |b-2|<，即2<b< 。此时由于|b-2|<|a-2|，
f(b)= <f(a)= ,
即最大值b=f(a)=f()=<0，与b>2矛盾，所以这种情况不可能;
综上所述，满足题意的(a，b)有2对,故选 B.
考点：本题主要考查二次函数的图象和性质，分类讨论思想。
点评：难题，涉及二次函数值域问题，关注图象的开口方向、对称轴位置、区间端点函数值，均为基本方法。本题分类讨论易于出错，特别是第三种情况下。