题目内容
已知函数f(x)=ln(x+1)-
.
(1)若函数f(x)在[0,+∞)内为增函数,求正实数a的取值范围.
(2)当a=1时,求f(x)在[-
,1]上的最大值和最小值;
(3)试利用(1)的结论,证明:对于大于1的任意正整数n,都有
+
+
+…+
<lnn.
x |
a(x+1) |
(1)若函数f(x)在[0,+∞)内为增函数,求正实数a的取值范围.
(2)当a=1时,求f(x)在[-
1 |
2 |
(3)试利用(1)的结论,证明:对于大于1的任意正整数n,都有
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
n |
分析:(1)求函数的导数,则导数f′(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立即可,分离参数即得a≥
对任意x∈[0,+∞)恒成立,a≥(
)max(x∈[0,+∞))即可.
(2)a=1时,求f(x)的导数,再令导数等于0,得到的x的值为函数的极值点,在借助函数在[-
,1]的单调性,判断函数当x为何值时有最大值,何时有最小值.
(3)由(1)知,当a=1时,f(x)=ln(1+x)-
在[0,+∞)上是增函数,则f(x)≥f(0),即ln(1+x)≥
,x∈[0,+∞)成立.即ln
>
,得证,或利用数学归纳法来证明也可.
1 |
x+1 |
1 |
x+1 |
(2)a=1时,求f(x)的导数,再令导数等于0,得到的x的值为函数的极值点,在借助函数在[-
1 |
2 |
(3)由(1)知,当a=1时,f(x)=ln(1+x)-
x |
x+1 |
x |
1+x |
n+1 |
n |
1 |
n+1 |
解答:解:(1)∵f(x)=ln(x+1)-
,∴f′(x)=
(a>0).
∵函数f(x)在[0,+∞)内为增函数,∴f′(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,
∴a(x+1)-1≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,即a≥
对任意x∈[0,+∞)恒成立.
而当x∈[0,+∞)时,(
)max=1,∴a≥1.
(2)当a=1时,f′(x)=
.∴当x∈[-
,0)时,f′(x)<0,f(x)在[-
,0)上单调递减,
当x∈(0,1]时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,∴f(x)在[-
,1]上有唯一极小值点,
故f(x)min=f(0)=0.又f(-
)=1+ln
=1-ln2,f(1)=-
+ln2,
f(-
)-f(1)=
-2ln2=
=
∵e3>16,
∴f(-
)-f(1)>0,即f(-
)>f(1).∴f(x)在[-
,1]上的最大值为f(-
)=1-ln2.
综上,函数f(x)在[-
,1]上的最大值是1-ln2,最小值是 0.
(3)法一:用数学归纳法.
①当n=2时,要证
<ln2,只要证ln4>1,显然成立.
②假设当n=k时,不等式
+
+
+…+
<lnk(k>1,k∈N*)成立.
则当n=k+1时,
+
+
+…+
+
<lnk+
.要证lnk+
<ln(k+1)成立,
只要证
<ln
,即
<ln(1+
). 令
=x>0,则上式化为
<ln(1+x)(x>0).
只要证:ln(1+x)-
>0(*).
由(1)知,当a=1时,f(x)=ln(1+x)-
在[0,+∞)内是增函数,
故有f(x)≥f(0),即ln(1+x)≥
x∈[0,+∞)成立,而(*)中x=
(k>1,k∈N*),x>0,
∴ln(1+x)-
>0 即(*)式成立.∴当n=k+1时,不等式成立.
由①②知对任意n>1的正整数不等式都成立.
法二:由(1)知,当a=1时,f(x)=ln(1+x)-
在[0,+∞)上是增函数,
故有f(x)≥f(0),即ln(1+x)≥
,x∈[0,+∞)成立.
令x=
(n∈N*),则x>0,∴有ln(1+x)>
,即ln
>
.
由此得ln
>
,ln
>
,ln
>
,…,ln
>
,
则ln
+ln
+ln
+…+ln
>
+
+
+…+
,即得lnn>
+
+
+…+
.
故对大于1的任意正整数n.都有
+
+
+…+
<lnn.
x |
a(x+1) |
a(x+1)-1 |
a(x+1)2 |
∵函数f(x)在[0,+∞)内为增函数,∴f′(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,
∴a(x+1)-1≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,即a≥
1 |
x+1 |
而当x∈[0,+∞)时,(
1 |
x+1 |
(2)当a=1时,f′(x)=
x |
(x+1)2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
当x∈(0,1]时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,∴f(x)在[-
1 |
2 |
故f(x)min=f(0)=0.又f(-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
f(-
1 |
2 |
3 |
2 |
3-ln16 |
2 |
lne3-ln16 |
2 |
∴f(-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
综上,函数f(x)在[-
1 |
2 |
(3)法一:用数学归纳法.
①当n=2时,要证
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2 |
②假设当n=k时,不等式
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2 |
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3 |
1 |
4 |
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k |
则当n=k+1时,
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1 |
3 |
1 |
4 |
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k |
1 |
k+1 |
1 |
k+1 |
1 |
k+1 |
只要证
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k+1 |
k+1 |
k |
1 |
k+1 |
1 |
k |
1 |
k |
x |
1+x |
只要证:ln(1+x)-
x |
1+x |
由(1)知,当a=1时,f(x)=ln(1+x)-
x |
x+1 |
故有f(x)≥f(0),即ln(1+x)≥
x |
x+1 |
1 |
k |
∴ln(1+x)-
x |
1+x |
由①②知对任意n>1的正整数不等式都成立.
法二:由(1)知,当a=1时,f(x)=ln(1+x)-
x |
x+1 |
故有f(x)≥f(0),即ln(1+x)≥
x |
1+x |
令x=
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n |
x |
1+x |
n+1 |
n |
1 |
n+1 |
由此得ln
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3 |
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3 |
4 |
3 |
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n |
n-1 |
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n |
则ln
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n |
n-1 |
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n |
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n |
故对大于1的任意正整数n.都有
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n |
点评:本题重点考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查大小比较,解题的关键是正确求出导函数,合理构建不等式,属于中档题.
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