题目内容
已知点A(1,0),定直线l:x=-1,B为l上的一个动点,过B作直线m⊥l,连接AB,作线段AB的垂直平分线n,交直线m于点M.(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点N(4,0)作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P,Q,求证OP⊥OQ(O为坐标原点).

【答案】分析:(1)利用|MA|=|MB|,根据抛物线的定义可知M的轨迹为以A为焦点,l为准线的抛物线.进而求得抛物线的方程.
(2)当x⊥x时,把直线h与抛物线的方程联立求得y,P,Q坐标可得,进而求得KOP=1,KOQ=-1推断出OP⊥OQ;当h与x轴不垂直时,设出直线l的方程,与抛物线的方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1?x2,则y1?y2的值可得,进而求得
•
推断出OP⊥OQ.
解答:解:(1)由已知|MA|=|MB|
∴M的轨迹为以A为焦点,l为准线的抛物线.
∴M的轨迹方程为y2=4x.
(2)当h⊥x时,h:x=4由
得y=±4
此时,P(4,4),Q(4,-4)
KOP=1,KOQ=-1∴OP⊥OQ
当h与x轴不垂直时,设l:y=k(x-4)
由
得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0
x1?x2=16,
∴
•
=x1?x2+y1?y2=0
∴OP⊥OQ
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系,抛物线的定义.判断直线垂直的方法一般是利用斜率之积为-1或向量之积为0的方法.
(2)当x⊥x时,把直线h与抛物线的方程联立求得y,P,Q坐标可得,进而求得KOP=1,KOQ=-1推断出OP⊥OQ;当h与x轴不垂直时,设出直线l的方程,与抛物线的方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1?x2,则y1?y2的值可得,进而求得


解答:解:(1)由已知|MA|=|MB|
∴M的轨迹为以A为焦点,l为准线的抛物线.
∴M的轨迹方程为y2=4x.
(2)当h⊥x时,h:x=4由

此时,P(4,4),Q(4,-4)
KOP=1,KOQ=-1∴OP⊥OQ
当h与x轴不垂直时,设l:y=k(x-4)
由

x1?x2=16,

∴


∴OP⊥OQ
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系,抛物线的定义.判断直线垂直的方法一般是利用斜率之积为-1或向量之积为0的方法.

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