题目内容
11．已知函数f（x）的导函数是f′（x）=3x2+2mx+9，f（x）在x=3处取得极值，且f（0）=0（1）求f（x）的极大值和极小值
（2）设M（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点，当x∈（0，1]时，求直线OM斜率的最小值．
分析 （1）依题意，f′（3）=0，解得m=-6，由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的极大值和极小值．
（2）当x∈（0，1]时，直线OM斜率k=$\frac{f（x）}{x}$=（x-3）2，因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，则4≤（x-3）2＜9，即直线OM斜率的最小值为4．
解答 解：（1）依题意，f′（3）=0，解得m=-6，…（1分）
由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，
因为f（0）=0，所以p=0，
则f（x）=x3-6x2+9x，导函数f′（x）=3x2-12x+9．…（3分）
列表：
| x | （-∞，1） | 1 | （1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 递增 | 极大值4 | 递减 | 极小值0 | 递增 |
（2）当x∈（0，1]时，直线OM斜率k=$\frac{f（x）}{x}$=（x-3）2，
因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，
则4≤（x-3）2＜9，
即直线OM斜率的最小值为4． …（12分）
点评 本题考查导数的应用，考查函数极值的求法，考查实数的取值范围的求法，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化是关键．
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