题目内容
已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)当a=-2e时,求函数f(x)的单调区间和极值.
(2)若函数
在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=-2e时,f′(x)=2x-
=
(2分),
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
∴f(x)的单调递减区间是(0,
);单调递增区间是(
,+∞).
极小值是f(
)=0.(6分)
(2)由g(x)=x2+alnx+
,得g′(x)=2x+
-
(8分)
又函数g(x)=x2+alnx+
为[1,4]上的单调减函数.
则g'(x)≤0在[1,4]上恒成立,
所以不等式2x+
-
≤0在[1,4]上恒成立,
即a≤
-2x2在[1,4]上恒成立. (10分)
设φ(x)=
-2x2,显然?(x)在[1,4]上为减函数,
所以?(x)的最小值为?(4)=-
.
∴a的取值范围是a≤-
.(12分)
分析:(1)a=-2e时,f′(x)=2x-
=
,利用x变化时,f'(x),f(x)的变化情况可求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)由g(x)=x2+alnx+
,得g′(x)=2x+
-
,由g'(x)≤0在[1,4]上恒成立,可得a≤
-2x2在[1,4]上恒成立.构造函数φ(x)=
-2x2,求其最小值即可.
点评:本题考查利用倒数研究函数的单调性,着重考查函数在某点取得极值的条件,考查闭区间上的恒成立问题,突出转化思想与构造函数的思想的运用,属于难题.
当a=-2e时,f′(x)=2x-


当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x | ![]() | ![]() | ![]() |
f'(x) | - | 0 | + |
f(x) | 极小值 |


极小值是f(

(2)由g(x)=x2+alnx+



又函数g(x)=x2+alnx+

则g'(x)≤0在[1,4]上恒成立,
所以不等式2x+


即a≤

设φ(x)=

所以?(x)的最小值为?(4)=-

∴a的取值范围是a≤-

分析:(1)a=-2e时,f′(x)=2x-


(2)由g(x)=x2+alnx+





点评:本题考查利用倒数研究函数的单调性,着重考查函数在某点取得极值的条件,考查闭区间上的恒成立问题,突出转化思想与构造函数的思想的运用,属于难题.

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π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
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| ||
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| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|