题目内容

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）若函数 $数学公式$ 在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=-2e时，f′（x）=2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2分），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴f（x）的单调递减区间是（0， $\text{[math]}$ ）；单调递增区间是（ $\text{[math]}$ ，+∞）．
极小值是f（ $\text{[math]}$ ）=0．（6分）
（2）由g（x）=x²+alnx+ $\text{[math]}$ ，得g′（x）=2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （8分）
又函数g（x）=x²+alnx+ $\text{[math]}$ 为[1，4]上的单调减函数．
则g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤ $\text{[math]}$ -2x²在[1，4]上恒成立．（10分）
设φ（x）= $\text{[math]}$ -2x²，显然?（x）在[1，4]上为减函数，
所以?（x）的最小值为?（4）=- $\text{[math]}$ ．
∴a的取值范围是a≤- $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）a=-2e时，f′（x）=2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用x变化时，f'（x），f（x）的变化情况可求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）由g（x）=x²+alnx+ $\text{[math]}$ ，得g′（x）=2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤ $\text{[math]}$ -2x²在[1，4]上恒成立．构造函数φ（x）= $\text{[math]}$ -2x²，求其最小值即可．
点评：本题考查利用倒数研究函数的单调性，着重考查函数在某点取得极值的条件，考查闭区间上的恒成立问题，突出转化思想与构造函数的思想的运用，属于难题．