题目内容
已知函数f（x）=
，
（1）当f（x）=2时，求x的值；
（2）证明函数f（x）在[2，4]上是减函数，并求函数的最大值和最小值．
| x+2 | x-6 |
（1）当f（x）=2时，求x的值；
（2）证明函数f（x）在[2，4]上是减函数，并求函数的最大值和最小值．
分析：（1）令f（x）=
=2，解方程可求出x的值；
（2）任取2≤x1＜x2≤4，判断f（x1）与f（x2）的大小，进而利用函数单调性的定义，可判断出函数的单调性，进而得到函数的最值．
| x+2 |
| x-6 |
（2）任取2≤x1＜x2≤4，判断f（x1）与f（x2）的大小，进而利用函数单调性的定义，可判断出函数的单调性，进而得到函数的最值．
解答：解：（1）若令f（x）=
=2
即x+2=2（x-6）
解得x=14
（2）任取2≤x1＜x2≤4，
则x2-x1＞0，x1-6＜0，x2-6＜0，
f（x1）-f（x2）=
-
=
＞0
即f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）
故函数f（x）在[2，4]上是减函数，
∴当x=2时，函数f（x）取最大值-1，
当x=4时，函数f（x）取最小值-3．
| x+2 |
| x-6 |
即x+2=2（x-6）
解得x=14
（2）任取2≤x1＜x2≤4，
则x2-x1＞0，x1-6＜0，x2-6＜0，
f（x1）-f（x2）=
| x1+2 |
| x1-6 |
| x2+2 |
| x2-6 |
| 8(x2-x1) |
| (x1-6)(x2-6) |
即f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）
故函数f（x）在[2，4]上是减函数，
∴当x=2时，函数f（x）取最大值-1，
当x=4时，函数f（x）取最小值-3．
点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合应用，函数的值，函数的单调性，熟练掌握函数单调性的定义，证明及应用是解答的关键．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|