题目内容
(文)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=-f(x),当-1≤x<1时,f(x)=x3,则x∈[2,4]时y=f(x)的解析式是 .
分析:依题意,易求y=f(x)是以4为周期的函数,利用-1≤x<1时,f(x)=x3,分当1≤x<3与3≤x<5两段讨论即可求得x∈[2,4]时y=f(x)的解析式.
解答:解:∵f(x+2)=-f(x),
∴f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴y=f(x)是以4为周期的函数;
又当-1≤x<1时,f(x)=x3,
∴当1≤x<3时,-1≤x-2<1,
∴f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3;
当3≤x<5时,-1≤x-4<1,又y=f(x)是以4为周期的函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)3,
∴当x∈[2,4]时y=f(x)的解析式是:
f(x)=
.
故答案为:f(x)=
.
∴f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴y=f(x)是以4为周期的函数;
又当-1≤x<1时,f(x)=x3,
∴当1≤x<3时,-1≤x-2<1,
∴f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3;
当3≤x<5时,-1≤x-4<1,又y=f(x)是以4为周期的函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)3,
∴当x∈[2,4]时y=f(x)的解析式是:
f(x)=
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故答案为:f(x)=
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点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的周期性与分段函数解析式的确定,考查分类讨论思想与转化运算能力,属于中档题.
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