题目内容

如图已知抛物线的焦点坐标为,过的直线交抛物线两点,直线分别与直线相交于两点.

(1)求抛物线的方程;
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.

(1);(2)证明过程详见解析.

解析试题分析:本题主要考查抛物线、直线的方程,以及直线与抛物线的位置关系,突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.第一问,利用抛物线的标准方程,利用焦点坐标求出,代入即可;第二问,讨论直线垂直和不垂直轴2种情况,当直线垂直于轴时,2个三角形相似,面积比为定值,当直线不垂直于轴时,设出直线的方程,设出四个点坐标,利用直线与抛物线相交列出方程组,消参得到方程,利用两根之积得为定值,而面积比值与有关,所以也为定值.
试题解析:(1)由焦点坐标为 可知
所以,所以抛物线的方程为                     5分
(2)当直线垂直于轴时,相似,
所以,                        7分
当直线与轴不垂直时,设直线AB方程为,

整理得,                      9分
所以,                                        10分
,
综上                               12分
考点:1.抛物线的标准方程;2.直线方程;3.根与系数关系;4.三角形面积公式.

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