Question

在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？
(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？

Answer 1

（1）161700  （2）9506  （3）9604  （4）57036

解：(1)所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有C₁₀₀³＝＝161700(种)．
(2)抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：
第一步，从2件次品中任取1件，有C₂¹种方法；
第二步，从98件正品中任取2件，有C₉₈²种方法．
根据分步计数原理，不同的抽取方法共有
C₂¹·C₉₈²＝2×＝9506(种)．
(3)法一　抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：
第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C₂¹C₉₈²种；
第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C₂¹C₉₈¹种．
根据分类计数原理，不同的抽法共有
C₂¹·C₉₈²＋C₂²·C₉₈¹＝9506＋98＝9604(种)．
法二　从100件产品中任取3件的抽法，有C₁₀₀³种，其中抽出的3件中没有次品的抽法，有C₉₈³种．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有C₁₀₀³－C₉₈³＝9604(种)．
(4)完成题目中的事，可以分成两步：
第一步，选取产品，有C₂¹C₉₈²种方法；
第二步，选出的3个产品排列，有A₃³种方法．
根据分步计数原理，不同的排列法共有
C₂¹C₉₈²A₃³＝57036(种)．