Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极小值；
（Ⅱ）由f（x）的解析式化简不等式，得到当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立即要求出

2(t-1)2

ln t2 2t-1

的最小值即可得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f(x)=x2+2x-4lnx?f′(x)=2x+2-

4

x

．由函数的定义域为x＞0，
∴f'（x）＞0?x＞1，f'（x）＜0?0＜x＜1．∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f(2t-1)≥2f(t)-3?2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln

t2

2t-1

．
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

]≤

(t-1)2

2t-1

＜(t-1)2在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln

t2

2t-1

≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．