题目内容

已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若 $数学公式$ ，则m=

A.
sinθ
B.
cosθ
C.
tanθ
D.
不能确定

A
分析：设外接圆半径为R，把已知条件化为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，左右分别与 $\text{[math]}$ 作数量积，化简可得 sin（B+C）=m，再利用诱导公式可得m=sinA=sinθ，从而得出结论．
解答：设外接圆半径为R，则： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可化为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （*）．
易知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为2∠C， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为2∠B， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为0，
| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=R．
则对（*）式左右分别与 $\text{[math]}$ 作数量积，可得：
$\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-2m $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ R² （cos2C-1）+ $\text{[math]}$ •R²（cos2B-1）=-2mR²．
∴-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m．
因为sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，
所以，m=sinA=sinθ，
故选A．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两角和差的正弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题．