题目内容
已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若
+
=2m
，则m=（ ）
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AO |
分析：设外接圆半径为R，把已知条件化为：
•(
-
)+
•(
-
)=2m•
，左右分别与
作数量积，化简可得 sin（B+C）=m，再利用诱导公式可得m=sinA=sinθ，从而得出结论．
| cosB |
| sinC |
| OB |
| OA |
| cosC |
| sinB |
| OC |
| OA |
| AO |
| OA |
解答：解：设外接圆半径为R，则：
+
=2m
可化为：
•(
-
)+
•(
-
)=2m•
（*）．
易知
与
的夹角为2∠C，
与
的夹角为2∠B，
与
的夹角为0，
|
|=|
|=|
|=R．
则对（*）式左右分别与
作数量积，可得：
•
•
-
•
2+
•
•
-
•
2=-2m
2．
即
• R2 （cos2C-1）+
•R2（cos2B-1）=-2mR2．
∴-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m．
因为sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，
所以，m=sinA=sinθ，
故选A．
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AO |
| cosB |
| sinC |
| OB |
| OA |
| cosC |
| sinB |
| OC |
| OA |
| AO |
易知
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OA |
| OA |
|
| OA |
| OB |
| OC |
则对（*）式左右分别与
| OA |
| cosB |
| sinC |
| OA |
| OB |
| cosB |
| sinC |
| OA |
| cosC |
| sinB |
| OC |
| OA |
| cosC |
| sinB |
| OA |
| OA |
即
| cosB |
| sinC |
| cosC |
| sinB |
∴-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m．
因为sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，
所以，m=sinA=sinθ，
故选A．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两角和差的正弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
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