题目内容

已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1的左支交于点A，右支交于点B
（1）求k的取值范围；
（2）若直线l与y轴交于点P，且满足|PB|=2|PA|，求直线l的方程．

解：（1）由 $\text{[math]}$ （1）
因直线l与双曲线在左、右两支分别交于A、B两点，
所以 $\text{[math]}$ ，解得k²＜3，所以k的取值范围为 $\text{[math]}$
（2）因|PB|=2|PA|且点P在线段AB上，故 $\text{[math]}$ ，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于点P的坐标为（0，1），所以有 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
于是可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以有： $\text{[math]}$ ，结合（1）有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
又由于点A在左支，点B在右支，并结合|PB|=2|PA|知k＞0，所以 $\text{[math]}$ ，从而直线l的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和两根之积小于0联立求得k的范围．
（2）因|PB|=2|PA|且点P在线段AB上，故 $\text{[math]}$ ，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量关系得出A，B两点的坐标之间的关系式，结合（1）中一元二次方程根与系数的关系建立等式即可求出直线l的斜率，从而写出直线l的方程．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与向量知识的综合．