Question

如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO⊥平面ABCD．当四边形ABCD满足下列条件

①②③

时，点P到四边形四条边的距离相等．
①正方形；②圆的外切四边形；③菱形；④矩形．

Answer 1

分析：连接PA、PB、PC、PD，若要使P到四边形四条边的距离相等，则P在底面的射影O到四边形各边的距离也相等．过O点作出到边的垂线段，可以利用线面垂直的性质证明相应的直角三角形全等，从而得到三角形的斜边对应相等，用此性质不难判断出符合条件的选项为①②③

解答：解：连接PA、PB、PC、PD，作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，连接PE、PF
∵PO⊥平面ABCD
∴△POE、△POF均为直角三角形
若OE=OF，则根据边角边公理，可得△POE≌△POF
则有PE=PF
又∵AB⊥OE，AB⊥PO，OE∩PO=O
∴AB⊥平面POE，可得PE是P到AB的距离
同理可得PF是P到BC的距离．
因此可得：OE=OF可答出推出P到AB的距离等于P到BC的距离．
同理可以得到P到其它边的距离也是相等的，反过来也成立．
故“O到边的距离相等”等价于“P到边的距离相等”
因为正方形、菱形和圆外切四边形都是有内切圆的四边形，
内切圆的圆心到四条边的距离相等
所以满足条件的应该是正方形、菱形和圆外切四边形
故答案为：①②③

点评：本题着重考查了直线和平面的性质的应用，属于中档题．对于棱锥而言，若顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面的射影到各边的距离相等，这是棱锥的一个常见的性质．