Question

解关于x的方程．
（1）log_（x+a）2x=2．
（2）log₄（3-x）+log_0.25（3+x）=log₄（1-x）+log_0.25（2x+1）；
（3）(

3+2 2

)x+(

3-2 2

)x=6；
（4） lg（ax-1）-lg（x-3）=1．

Answer 1

分析：利用等价转化思想将这些方程都转化为与之等价的代数方程，通过求解代数方程达到求解该方程的目的．注意对数中真数大于零的特点．
（1）要注意对数式与指数式的转化关系；
（2）利用对数运算性质进行转化变形；
（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；
（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．

解答：解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）²，即x=1-a±

1-2a

（当a≤

1

2

时），当x=1-a-

1-2a

时，x+a=1-

1-2a

＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1-a+

1-2a

（当a≤

1

2

时），当a＞

1

2

时，原方程无根．
（2）该方程可变形为log₄

3-x

3+x

=log₄

1-x

2x+1

，即

3-x

3+x

=

1-x

2x+1

，整理得x²-7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0．
（3）该方程变形为(

( 2 +1)2

)x+(

( 2 -1)2

)x=6，即(

2

+1)x+(

2

-1)x=6，令t=(

2

+1)x，则可得出t+

1

t

=6，解得t=3±2

2

=(

2

±1)2，因此x=±2．该方程的根为±2．
（4）原方程等价于

ax-1＞0 x-3＞0 ax-1 x-3 =10

，由

ax-1

x-3

=10得出ax-1=10x-30，该方程当a=10时没有根，当a≠10时，x=

-29

a-10

，要使得是原方程的根，需满足ax-1＞0，且x-3＞0．解出a∈（

1

3

，10）．因此当a∈（

1

3

，10）时，原方程的根为x=

-29

a-10

，当a∈（-∞，

1

3

]∪[10，+∝）时，原方程无根．

点评：本题考查代数方程的求解，注意方程的等价变形，注意对数形式方程的真数大于零的特征，注意对所求的根进行检验，对含字母的方程要注意讨论．