Question

【题目】已知函数的图像在点处的切线方程为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为;（2）.

【解析】试题分析：（1）由 在上得及得 的值，得 的解析式，由得的增区间，由得的减区间；（2）利用函数的单调性结合其图象可知：若 ，则必有一个小于，一个大于，不妨设，当时，结论显然成立，当时， ，令，对函数求导，可得 即在 单调递增，故 ，得，结合函数单调性可得结果。

（1）函数的定义域为， ，

因为的图象在点处的切线方程为，

所以解得，所以.

所以，令，得，

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）当时， .证明如下：

因为时， 单调递减，且，

又，当时， 单调递增，且.

若，则必都大于，且必有一个小于，一个大于.

不妨设，当时，必有.

当时， ，

设，

则

因为，所以，故.

又，所以，所以在区间内单调递增，

所以，所以.

因为， ，所以，

又因为在区间内单调递增，

所以，即.

综上，当时，.