Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限的交点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在的直线的斜率为1．

① 当直线过点时，求直线的方程；

       ② 当时，求菱形面积的最大值．

Answer 1

（1）设．

由抛物线定义，， ．

在上，，又

         或舍去．

∴椭圆的方程为．

       （2）① 直线的方程为

              为菱形，，设直线的方程为

              由，得

、在椭圆上，解得，设，则，的中点坐标为．

由为菱形可知，点在直线上，

．

∴直线的方程为即．

② ∵为菱形，且，

，∴菱形的面积

．

∴当时，菱形的面积取得最大值