题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
短轴顶点在圆
上.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知点,若斜率为1的直线
与椭圆
相交于
两点,试探究以
为底边的等腰三角形
是否存在?若存在,求出直线
的方程,若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为
,由题意可得:
,且
,由此能求出椭圆
的方程;(Ⅱ)以
为底的等腰三角形
存在.设斜率为1的直线
的方程为
,代入
中,得:
,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线
的方程.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为
,由题意可得:
得
所以,椭圆的方程为
.
(Ⅱ)以为底的等腰三角形
存在.理由如下:
设斜率为1的直线的方程为
,代入
中,
化简得:,①
因为直线与椭圆
相交于
两点,所以由
解得
②
设,则
;③
于是的中点
满足
;
已知点,若以
为底的等腰三角形
存在,
则,即
,④将
代入④式,
得满足②
此时直线的方程为
.
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