题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为短轴顶点在圆上.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知点,若斜率为1的直线与椭圆相交于两点,试探究以为底边的等腰三角形是否存在?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为,由题意可得:,且,由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)以为底的等腰三角形存在.设斜率为1的直线的方程为,代入中,得:,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线的方程.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为,由题意可得:得
所以,椭圆的方程为.
(Ⅱ)以为底的等腰三角形存在.理由如下:
设斜率为1的直线的方程为,代入中,
化简得:,①
因为直线与椭圆相交于两点,所以由解得②
设,则;③
于是的中点满足;
已知点,若以为底的等腰三角形存在,
则,即,④将 代入④式,
得满足②
此时直线的方程为.
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