Question

已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l₁垂直于x轴,动点P在l₁上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l₂是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l₂的距离最短时,求直线l₂的方程.

Answer 1

(1) x²=2y(x≠0)   (2) x-y-1=0或x+y+1=

(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得k_OP·k_OQ=-1,即·=-1,化简得x²=2y,
∴曲线C的方程为x²=2y(x≠0).
(2)∵直线l₂与曲线C相切,∴直线l₂的斜率存在.
设直线l₂的方程为y=kx+b,
由得x²-2kx-2b=0.
∵直线l₂与曲线C相切,
∴Δ=4k²+8b=0,即b=-.
点(0,2)到直线l₂的距离
d==·
=(+)
≥×2
=.
当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.
∴直线l₂的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.