Question

（2013•太原一模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式等价于①

x＜- 1 2 -2x-1+(3-2x)≤6

，或②

3 2 ≥ x  ≥- 1 2 2x+1+(3-2x)≤6

，或③

x＞ 3 2 2x+1+(2x-3)≤6

．
分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a-1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6，
∴①

x＜- 1 2 -2x-1+(3-2x)≤6

，或②

3 2 ≥ x  ≥- 1 2 2x+1+(3-2x)≤6

，或③

x＞ 3 2 2x+1+(2x-3)≤6

．
解①得-1≤x＜-

1

2

，解②得-

1

2

≤x≤

3

2

，解③得

3

2

＜x≤2．
故由不等式可得

3

2

＜x≤2或-

1

2

≤x≤

3

2

或-1≤x＜-

1

2

，
即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，即f（x）的最小值等于4，
∴|a-1|＞4，解此不等式得a＜-3或a＞5．
故实数a的取值范围为（-∞，-3）∪（5，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．