Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2 sinθ，直线l的参数方程为 （t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．
（Ⅱ）若P（3， ），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2 sinθ，即ρ2=2 ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣2 y=0．

直线l的参数方程为 （t为参数）消去参数t可得普通方程：x+y﹣3﹣ =0．

（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t2﹣3 t+4=0，

则t1+t2=3 ，t1t2=4．

∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3

【解析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2 sinθ，即ρ2=2 ρsinθ，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l的参数方程为 （t为参数）消去参数t可得普通方程．（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t2﹣3 t+4=0，利用根与系数的关系可得PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．