题目内容
【题目】已知函数在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求函数的极值;
(2)若在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)极大值为,函数
无极小值;(2)
【解析】分析:(1)由函数在点
处的切线与直线
垂直,利用导数的几何意义求得
,利用导数研究函数的单调性,从而可得函数的极值;(2)
在
上恒成立,等价于
在
上恒成立,令
,利用导数可得当
时,
在
上是增函数,
,故当
时,
,再证明当
时不合题意即可.
详解:(1)函数的定义域为
,
,
所以函数在点
处的切线的斜率
.
∵该切线与直线垂直,所以
,解得
.
∴,
,
令,解得
.
显然当时,
,函数
单调递增;当
时,
,函数
单调递减.
∴函数的极大值为
,函数
无极小值.
(2)在
上恒成立,等价于
在
上恒成立,
令,则
,
令,则
在
上为增函数,即
,
①当时,
,即
,则
在
上是增函数,
∴,故当
时,
在
上恒成立.
②当时,令
,得
,
当时,
,则
在
上单调递减,
,
因此当时,
在
上不恒成立,
综上,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
甲 | 87 | 91 | 90 | 89 | 93 |
乙 | 89 | 90 | 91 | 88 | 92 |
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .
【题目】某企业生产一种产品,质量测试分为:指标不小于为一等品;指标不小于
且小于
为二等品;指标小于
为三等品。其中每件一等品可盈利
元,每件二等品可盈利
元,每件三等品亏损
元。现对学徒甲和正式工人乙生产的产品各
件的检测结果统计如下:
测试指标 | ||||||
甲 | ||||||
乙 |
根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率。求:
(1)乙生产一件产品,盈利不小于元的概率;
(2)若甲、乙一天生产产品分别为件和
件,估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元?
(3)从甲测试指标为与乙测试指标为
共
件产品中选取
件,求两件产品的测试指标差的绝对值大于
的概率.
【题目】某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关,通过随机抽查110名学生,得到如下的列联表:
喜欢该项运动 | 不喜欢该项运动 | 总计 | |
男 | 40 | 20 | 60 |
女 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由公式,算得
附表:
0.025 | 0.01 | 0.005 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 |
参照附表,以下结论正确的是( )
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错语的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”