题目内容
【题目】在直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若两条互相垂直的直线都经过原点（两条直线与坐标轴都不重合）且与曲线分别交于点
（异于原点），且
，求这两条直线的直角坐标方程.
【答案】（1）
；（2）
与
.
【解析】
（1）根据直角坐标与极坐标的转化，两边同时乘以
，即可化简为曲线的直角坐标方程。
（2）设出其中一条直线的倾斜角，利用极坐标表示出直线的极坐标方程，进而表示出另外一个直线的极坐标方程，分别代入C的极坐标方程，可求得
，进而利用三角函数的最值求得倾斜角，进而得到直线方程。
（1）因为
，所以
，
所以
，
故曲线
的直角坐标方程为
.
（2）不妨设其中一条直线的倾斜角为
，则该直线的极坐标方程为
，
则另一条直线的极坐标方程为
.
将代入曲线的极坐标方程得
，
将代入曲线的极坐标方程得
，
则
，所以
，
，
故这两条直线的直角坐标方程分别为与
.
【题目】目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.
（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.
（i）请将表格补充完整；
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.
【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份之间的回归直线方程
+
（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2
列联表：
不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
驾龄不超过1年 | 22 | 8 | 30 |
驾龄1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
能否据此判断有97.5
的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
参考公式及数据：
,
.
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（其中n=a+b+c+d）
