题目内容
设a＞0，b＞0，c＞0，a2+b2=c2，求证：n≥3（n∈N+）时，an+bn＜cn．
考点：不等式的证明
专题：证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：依题意，a2＜c2，b2＜c2，
∈（0，1），
∈（0，1），利用指数函数的单调性即可证得n≥3（n∈N+）时，
an+bn＜cn．
| c |
| a |
| b |
| c |
an+bn＜cn．
解答：
证明：∵a、b、c∈R+，a2+b2=c2，
∴（
）2+（
）2=1，
∴
∈（0，1），
∈（0，1），
∵y=（
）x与y=（
）x均为减函数，
∴当n≥3（n∈N+）时（
）n＜（
）2，（
）n＜（
）2；
∴当n≥3（n∈N+）时（
）n+（
）n＜（
）2+（
）2=1，
即n≥3（n∈N+）时，an+bn＜cn．
∴（
| a |
| c |
| b |
| c |
∴
| a |
| c |
| b |
| c |
∵y=（
| a |
| c |
| b |
| c |
∴当n≥3（n∈N+）时（
| a |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
∴当n≥3（n∈N+）时（
| a |
| c |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
即n≥3（n∈N+）时，an+bn＜cn．
点评：本题考查不等式证明，突出考查指数函数的单调性和运用，考查转化思想与推理分析的能力，属于中档题．
练习册系列答案
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案
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