题目内容

(请注意求和符号:f(k)+f(k+1)+f(k+2)+…+f(n)=,其中k,n为正整数且k≤n)
已知常数a为正实数,曲线总经过定点(-a,0)(n∈N*
(1)求证:点列:P1,P2,…,Pn在同一直线上
(2)求证:(n∈N*
【答案】分析:(1)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=xn处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.Pn(a,)总在直线x=a上,即P1,P2,,Pn在同一直线上,从而问题解决.
(2)由(1)可知yn=,从而f(i)===,对 =进行放缩 从而得出:=,最后设函数F(x)=-ln(x+1),x∈[0,1],利用导数研究其单调性即可证得结论.
解答:证:(1)∵f(x)=
∴f′(x)=•(nx)′=.(1分)
Cn:y=在点Pn(xn,yn)处的切线ln的斜率kn=f′(xn)=
∴ln的方程为y-yn=(x-xn).(2分)
∵ln经过点(-a,0),
∴yn=-(-a-xn)=(a+xn).
又∵Pn在曲线Cn上,∴yn==(a+xn),
∴xn=a,∴yn=,∴Pn(a,)总在直线x=a上,
即P1,P2,,Pn在同一直线x=a上.(4分)
(2)由(1)可知yn=,∴f(i)===.(5分)
==2( -)(i=1,2,,n),

=.(9分)
设函数F(x)=-ln(x+1),x∈[0,1],有F(0)=0,
∴F′(x)=-==>0(x∈(0,1)),
∴F(x)在[0,1]上为增函数,
即当0<x<1时F(x)>F(0)=0,故当0<x<1时 >ln(x+1)恒成立.(11分)
取x=(i=1,2,3,,n),f(i)=>ln(1+)=ln(i+1)-lni,
即f(1)=>ln2,f(2)=>ln(1+)=ln3-ln2,,f(n)=>ln(n+1)-lnn,
>ln2+(ln3-ln2)++[ln(n+1)-lnn]=ln(n+1)
综上所述有ln(n+1)<(n∈N*).(13分).
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.
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