Question

已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足

BM

=

MC

，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足

AT

=

AB

．
（I）求AC边所在直线的方程；
（II）求△ABC外接圆的方程；
（III）若动圆P过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
请注意下面两题用到求和符号：
f（k）+f（k+1）+f（k+2）+…+f（n）=

n

i=k

f(i)，其中k，n为正整数且k≤n．

Answer 1

分析：（I）由

AT

•

AB

=0，T在AC上，知△ABC是直角三角形．由AB边所在的直线方程是x-3y-6=0，知直线AC的斜率是-3，再由T（-1，1）在直线AC上，能求出AC边所在的直线方程．
（II）AC与AB的交点为A，由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得A（0，-2）．由

BM

=

MC

，知M（2，0）为Rt△ABC外接圆的圆心，再由r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

，能求出△ABC外接圆的方程．
（III）由动圆P过点N，知|PN|是该圆的半径，再由动圆P与圆M外切，知|PM|=|PN|+2

2

，由此能得到点P的轨迹．

解答：解：（I）∵

AT

•

AB

=0，∴AT⊥AB，
∵T在AC上，∴AC⊥AB，△ABC是直角三角形．
又AB边所在的直线方程是x-3y-6=0，
∴直线AC的斜率是-3，
∵T（-1，1）在直线AC上，
∴AC边所在的直线方程是y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
（II）AC与AB的交点为A，
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得A（0，-2）．
∵

BM

=

MC

，
∴M（2，0）为Rt△ABC外接圆的圆心，
∵r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

，
∴△ABC外接圆的方程为：（x-2）²+y²=8．
（III）∵动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，
又∵动圆P与圆M外切，
∴|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2

2

的双曲线的左支．

点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意直线和圆的位置关系的合理运用．