Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx，记h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=0，且h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）若a≠0，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，请判断C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线能否平行，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数h（x）在（0，+∞）上的最大值即可．
（2）利用导数求函数的单调递减区间．
（3）求导数，研究两条切线的斜率关系，从而确定是否平行．

解答：解：（1）不等式lnx-bx＜0⇒

lnx

x

＜b，函数p(x)=

lnx

x

，x∈（0，+∞），由p/(x)=

1-lnx

x2

=0，得x=e，
所以p（x）先增后减，
最大值为p(e)=

1

e

，b＞

1

e

（2）b=2时，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，
则h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

．
当a=0时，x＞

1

2

时，h′（x）＜0，函数为减函数；
当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0，总有x＞0；
当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而ax²+2x-1＞0，总有x＞0；
则△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0，
综上：a∈（-1，+∞）
（3）不能平行．
设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
则点M、N的横坐标为x=

x1+x2

2

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行得：

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，点P、Q的坐标代入函数表达式
两式相减得：

2(x2-x1)

x1+x2

=lnx2-lnx1⇒ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

设t=

x2

x1

，则lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1．令r(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
得用导数得r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
所以lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1不成立，即两切线不可能平行．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，要求熟练掌握它们对应的关系．