题目内容
【题目】已知函数,
,其中
.
(Ⅰ) 判断函数在
上的单调性;
(Ⅱ) 设函数的定义域为
,且有极值点.
(ⅰ) 试判断当时,
是否满足题目的条件,并说明理由;
(ⅱ) 设函数的极小值点为
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) (ⅰ)满足 ,理由见解析 (ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求,根据导数与函数单调性的关系,结合参数b的取值范围,分类讨论函数
在
上的单调性;
(Ⅱ) (ⅰ)代入b=2,求得,可判断定义域满足题目的条件,再利用零点存在性定理,判断函数有极点;
(ⅱ)先根据满足题目条件,求出b的取值范围,以及b关于x的函数式,并判断有两个极值点,再根据取极小值时函数式构造函数,利用导数和x0的取值范围,证明不等式成立.
(Ⅰ),
若,则
,故
在
上递增;
若,由
解得
,
,
当,解得
,此时当
,
,
时,
,结合
时,x=
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
当时,解得
,由
得
,由
得-2<
或
,结合
时,x=
所以
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述,当时,函数
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;
当时,
在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增;其中
,
(Ⅱ).
(ⅰ)当时,
,此时
的定义域为
,
,又
,
所以在
上有变号,有零点,
所以有极值,即
时,
满足题目的条件.
(ⅱ),因为
的定义域为
,故
,即
.
,令
,得
,设
,
则,当
时,
,
递增,当
时,
,
递减,
所以,所以
,即
时,满足
的定义域为R且有极点.此时
有且只有两个变号零点,一个为
的极大值点,一个为极小值点,且极小值点大于
,
故且唯一,又
,
设,则
,所以
在
上递增,
又4>,所以
,结合函数单调性,可判断0<
,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为推进“千村百镇计划”,2019年4月某新能源公司开展“电动绿色出行”活动,首批投放200台型新能源车到某地多个村镇,供当地村民免费试用三个月.试用到期后,为了解男女试用者对
型新能源车性能的评价情况,该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表(满分为100分).最后该公司共收回有效评分表600份,现从中随机抽取40份(其中男、女的评分表各20份)作为样本,经统计得到茎叶图:
(1)求40个样本数据的中位数;
(2)已知40个样本数据的平均数,记
与
的最大值为
.该公司规定样本中试用者的“认定类型”:评分不小于
的为“满意型”,评分小于
的为“需改进型”.
①请以40个样本数据的频率分布来估计收回的600份评分表中,评分小于的份数;
②请根据40个样本数据,完成下面2×2列联表:
认定类型 性别 | 满意型 | 需改进型 | 合计 |
女性 | 20 | ||
男性 | 20 | ||
合计 | 40 |
根据2×2列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关?
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |