题目内容
已知二次函数y=f(x)在x=
处取得最小值－
(t＞0), f(1)=0.
求y=f(x)的表达式；
若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；
设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.
【小题1】f(x)=x2－(t+2)x+t+1
【小题2】an=
［(t+1)n+1－1］，bn=
［1－(t+1
n)
【小题3】rn=
Sn=π(r12+r22+…+rn2)=
［(t+1)2n－1］
解析:
【小题1】设f(x)=a(x－
)2－
，由f(1)=0得a=1.
∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.
【小题2】将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：
(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：
且t≠0，解得an=
［(t+1)n+1－1］，bn=
［1－(t+1
n)
【小题3】由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=
｜an+1－an｜=(t+1)n+1?
设{rn}的公比为q，则
②÷①得q=
=t+1，代入①得rn=
∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=
［(t+1)2n－1］
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已知二次函数y=f（x）的图象如图所示：