Question

如图．在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥，且AB=2，P∈平面CC₁D₁D，PD=PC=AD=

2

．PC∥平面AB₁D
（1）求证：PD⊥平面PBC；
（2）若AA₁=a，求a值；
（3）求点C₁到平面PAB的距离；
（4）若点P，A，D，C₁在同一球面上，求此球面的面积．

Answer 1

分析：（1）要证线面垂直，只需证线线垂直．据PD=PC=

2

，AB=2，可得PD⊥PC；BC⊥平面PDC，可得PD⊥BC，从而得证．

（2）若PC∥平面AB₁D，据线面平行的性质定理可得PC∥DC₁，知∠CDC₁=∠PCD=45°，则AA₁=CD=2即可．

（3）欲求点C到平面PAB的距离，直接由点C作平面PAB的垂线，需补形，不易作出，考虑用等积法完成，十分简洁．

（4）在条件及（2）的前提下，可知PD，PA，PC₁两两垂直，引导学生分析：点P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD为相邻三条棱的长方体的外接球面，从而可求此球面的直径，可求出球面的面积．

解答：证明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，
∴BC⊥平面CC₁D₁D，
∵P∈平面CC₁D₁D，
∴PD?平面CC₁D₁D，
∴PD⊥BC．
∵PD=PC=

2

，AB=2，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD⊥PC．
∵PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
∴PD⊥平面PBC．
解：（2）当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，
∴∠CDC₁=45°，
∵∠PCD=45°，
又PC和C₁D在同一个平面内，
∴PC∥DC₁，
∵DC₁?平面AB₁D，PC?平面AB₁D，
∴PC∥平面AB₁D．
（3）过点P作PE⊥CD交CD于E，
∵面ABCD⊥面PDC，面ABCD∩面PDC=CD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE=1．
连接AC，设点C到平面PAB的距离为h，
三棱锥P-ABC的体积与三棱锥C-PAB的体积相等，
则

1

3

S△ABC•PE=

1

3

S△PAB•h，
∵PA=PD=2，AB=2，
∴S△PAB=

1

2

×2×

3

2

×2=

3

，
S△ABC=

1

2

×2×

2

=

2

，
∴

1

3

×

2

×1=

1

3

×

3

h，h=

6

3

，
∴点C到平面PAB的距离为

6

3

．
（4）∵AD⊥平面CC₁D₁D（6），PD，DC₁在平面CC₁D₁D内，
AD⊥PD，AD⊥DC₁，
由（2）知∠PDC₁=90°，
即PD⊥DC₁，
∴PD，PA，PC₁两两垂直，
∴点P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD为相邻三条棱的长方体的外接球面，
∵PD=AD=

2

，DC1=2

2

，
∴此球面的直径2R=2

3

，
∴球面的半径R=

3

，
∴所求球面的面积为4πR2=4π(

3

)2=12π．

点评：本题考查点、线、面间的距离和计算，综合性性，难度大，是高考的重点，计算繁琐，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题时要认真审题，注意化立体问题为平面问题．