Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AA₁=a，AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

2

．

（Ⅰ）在正视图右边及下方区域画出其侧视图、俯视图（在答卷上作答）
（II）证明：PD⊥平面PBC；
（III）证明：当a=2时，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（I）利用长对正，宽相等，高平齐，即可得到侧视图、俯视图；
（II）证明PD⊥PC，PD⊥PC，利用线面垂直的判定定理，即可得到结论；
（III）证明PC∥C₁D，利用线面平行的判定定理，可得结论．

解答：（I）解：如图所示；
（II）证明：
因为PD=PC=

2

，
CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（5分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，
所以BC⊥面CC₁D₁D，（6分）
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以PD⊥PC．  …（7分）
又PC和BC为平面PBC内的两条相交直线，（8分）
所以PD⊥平面PBC．                                    …（9分）
（III）解：长方体中AD∥BC，AD=BC，BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，
∴AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁
∴A，D，B₁，C₁共面 …（10分）
长方体中DD₁=AA₁=a=2，CD=AB=2，四边形CC₁D₁D是一个正方形，∠C₁DC=45°，
而∠PCD=45°，且CD、C₁D与PC在同一个平面内，…（11分）
所以PC∥C₁D．                                         …（12分）
又C₁D?面AB₁C₁D，PC?面AB₁C₁D…（13分）
所以PC∥面AB₁C₁D，即PC∥平面AB₁D．                   …（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．