题目内容

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标,曲线的极坐标方程为(其中为常数).
(1)若曲线与曲线只有一个公共点,求的取值范围;
(2)当时,求曲线上的点与曲线上的点的最小距离.

(1);(2).

解析试题分析:本题考查极坐标与直角坐标之间的转化,参数方程与普通方程之间的转化,考查学生的转化能力和计算能力,考查数形结合思想.第一问,把参数方程和极坐标方程先进行转化,再利用数形结合解题;第二问,考查点到直线的距离公式,利用配方法求最小值.
试题解析:(1)曲线可化为
曲线可化为
若曲线只有一个公共点,
则当直线过点时满足要求,此时
并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点,
当直线N过点时,此时
所以满足要求;
再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点,相切时仍然只有一个公共点,联立,得
,解得
综上可求得的取值范围是.(5分)
(2)当时,直线
上的点为
则曲线上的点到直线的距离为
时取等号,满足,所以所求的最小距离为.(10分)
考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.极坐标方程与直角坐标方程的互化;3.点到直线的距离公式;4.配方法求最值.

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