Question

设等比数列{a_n}的公比q≠1，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，T_n（k）表示{a_n}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N⁺，k≤n），则数列

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n项的和是______（用a₁和q表示）

Answer 1

∵等比数列{a_n}的公比q≠1，
S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，
T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N⁺，k≤n），
∴

Tn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

=

a1×a2×a3×…×an

a2×a3×…×an+a1×a3×…×an+a1×a2×…×an-1

=

a1n•q n(n-1) 2

a1n-1•q n(n-1) 2 +a1n-1•q (n-2)(n+1) 2 +…+a1n-1•q (n-2)(n-1) 2

=

a1

1+q-1+q-2+…+q1-n

=

a1•(1-q1-n)

1-q-1

，
∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

=

a12(1+q-qn-q1-n)

2-q-q-1

，
数列

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n项的和
S=

a12

2-q-q-1

[（1+q-q-1）+（1+q-q²-q^-1）+（1+q-q³-q^-2）+…+（1+q-qⁿ-q^1-n）]
=

a12

2-q-q-1

[n+nq-

q(1-qn)

1-q

-

q-1(1-q1-n)

1-q-1

]
=

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）．
故答案为：

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）．