Question

已知方向向量为的直线l过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用条件求出直线l的方程，找出椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆的离心率为，就可求出椭圆C的方程：
（2）把直线MN的方程与椭圆方程联立找到关于点M，N纵坐标的方程，再利用所给出的点M，N纵坐标之间的关系，二者联立借助与判别式大于0就可求实数λ的取值范围．
解答：解：（1）因为直线l的方向向量为所以直线斜率为k=，
又因为直线过点
所以直线方程为y+2=x
因为a＞b，所以椭圆的右焦点为直线与轴的交点，∴椭圆的右焦点为（2，0），所以c=2
∵e==，∴a=，∴b²=a²-c²=2
∴椭圆方程为+=1
（2）由已知设直线MN的方程为x=my+3，
由⇒（m²+3）y²+6my+3=0，设M．N坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
则y₁+y₂=-   ①y₁y₂=     ②
△=36m²-12（m²+3）＞0⇒m²＞
∵=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），，显然λ＞0且λ≠1
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）∴y₁=λy₂，
代入①②得  =-2=10-，
∵m²＞⇒2＜＜10⇒
解得5-2＜λ＜5+2且λ≠1
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．还涉及到直线的方程与斜率，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．