题目内容

已知向量 $数学公式$ ，设函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）在 $数学公式$ 上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若 $数学公式$ ，b+c=7，△ABC的面积为 $数学公式$ ，求边a的长．

解：（Ⅰ）由题意得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（3分）
令 $\text{[math]}$ ，k∈Z
解得： $\text{[math]}$ ，k∈Z
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$
所以函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的单调递增区间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$
化简得： $\text{[math]}$
又因为 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ …（9分）
由题意知： $\text{[math]}$ ，解得bc=8，
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）= $\text{[math]}$
故所求边a的长为5．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，利用△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，结合余弦定理，即可求边a的长．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查余弦定理的运用，正确化简函数是关键．