Question

（本题满分15分）
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

Answer 1

（1）最低成本为元．（2）国家每月至少补贴元，才能不亏损

解析试题分析：解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： 
，当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………7分
（2）设该单位每月获利为,
则 

因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………15分
考点：本试题考查了函数的实际运用。
点评：审清题意，将实际问题，转换为数学表达式是解题的关键，同时要注意实际中的变量的取值范围，进而结合函数或者不等式的性质来求解最值 ，属于中档题。