Question

在平面直角坐标系中，已知A₁(-3,0)、A₂(3,0)、P(x,y)、M(,0)，若实数λ使向量、λ、满足λ²·()²=·.

(1)求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；

(2)当λ=时，过点A₁且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A₁BC为正三角形.

Answer 1

解：(1)由已知可得=(x+3,y), =(x-3,y), =(x²-9,0).

    ∵λ²()²=·,

    ∴λ²(x²-9)=x²-9+y²,

    即P点的轨迹方程是(1-λ²)x²+y²=9(1-λ²).

    当1-λ²＞0且λ≠0，即λ∈(-1,0)∪(0,1)时，有+=1,P点的轨迹是椭圆；

    当λ=0时，方程为x²+y²=9,P点的轨迹是圆；

    当1-λ²＜0，即λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，方程为-=1,P点的轨迹是双曲线；

    当1-λ²=0，即λ=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是直线.

    (2)过点A₁且斜率为1的直线方程为y=x+3.

    当λ=时，曲线方程为+=1.

    由得5x²+18x+9=0,x₁=-3,x₂=-.

    从而|A₁B|=|x₂-x₁|=.

    设C(-9,y),|A₁C|==,

    因为△A₁BC是正三角形，|A₁B|=|A₁C|，=，即y²=-,无解.

    所以在直线x=3上找不到点C，使△A₁BC是正三角形.