设f′的导函数.f″的导函数.如果f(x)同时满足下列条件:①存在x0.使f″(x0)=0,②存在ε＞0.使f′(x)在区间(x0-ε.x0)单调递增.在区间(x0.x0+ε)单调递减．则称x0为f(x)的“上趋拐点 ,如果f(x)同时满足下列条件:①存在x0.使f″(x0)=0,②存在ε＞0.使f′(x)在区间(x0-ε.x0)单调递减.在区间(x0.x0+ε)单� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在区间（x₀-ε，x₀）单调递增，在区间（x₀，x₀+ε）单调递减．则称x₀为f（x）的“上趋拐点”；
如果f（x）同时满足下列条件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在区间（x₀-ε，x₀）单调递减，在区间（x₀，x₀+ε）单调递增．则称x₀为f（x）的“下趋拐点”．
给出以下命题，其中正确的是①③④（只写出正确结论的序号）
①0为f（x）=x³的“下趋拐点”；
②f（x）=x²+e^x在定义域内存在“上趋拐点”；
③f（x）=e^x-ax²在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（$\frac{e}{2}$，+∞）；
④f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}-\frac{1}{2}a（a-1）{x^2}-{a^2}x+1$，若a为f（x）的“上趋拐点”，则a=-1．

分析通过分析可知，x₀是导函数f′（x）的极大值点时，则x₀是f（x）的“上趋拐点”；x₀是导函数f′（x）的极小值点时，则x₀是f（x）的“下趋拐点”．依此对原题四个选项逐一进行判断．

解答解：由题意可知，x₀是导函数f′（x）的极大值点时，则x₀是f（x）的“上趋拐点”；x₀是导函数f′（x）的极小值点时，则x₀是f（x）的“下趋拐点”．
①由已知f′（x）=3x²，所以f″（x）=6x，且当x＜0时，f″（x）＜0，当x＞0时，f″（x）＞0，所以0为f（x）的“下趋拐点”，故①正确；
②由已知f′（x）=2x+e^x，则f″（x）=2+e^x＞0恒成立，故f″（x）=0无解，所以f（x）=x²+e^x无上趋拐点，故②错误；
③由已知得f′（x）=e^x-2ax，所以f″（x）=e^x-2a，易知，该函数为定义域上的增函数，令f″（x）=0，若有解，则x=ln（2a），则当x＜ln（2a）时，f″（x）＜0，当x＞ln（2a）时，f″（x）＞0，故函数f′（x）在（-∞，ln（2a））上递减，在（ln（2a），+∞）上递增，所以x=ln（2a）是函数f（x）的下趋拐点，由题意得ln（2a）＞1=lne，所以2a＞e，所以a＞$\frac{e}{2}$，故③正确；
④由已知得f′（x）=ax²-a（a-1）x-a²，所以f″（x）=2ax-a（a-1），若x=a是上（或下）趋拐点，则f″（a）=2a²-a（a-1）=0，解得a=0或-1，显然a≠0，当a=-1时，f″（x）=-2x-2，易知当x＜-1时，f″（x）＞0，当x＞-1时，f″（x）＜0，所以f′（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，+∞）上递减，所以a=-1是f（x）的上趋拐点．故④正确．
故答案为：①③④．