Question

定义在（0，+∞）的函数f（x），对于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求证：1是函数f（x）的零点；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）若f(

1

4

)=

1

2

，解不等式f(mx+

1

16

)＞1（m＞0）．

Answer 1

分析：（1）此问可以采用分析法分析，要证结论成立只需证f（1）=0，结合条件：任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，中的任意性只要对 a、b取特值即可解决此问题；
（2）根据函数单调性的定义，首先应在给定区间上任设两数并限定大小，在充分利用条件：当x＞1时，f（x）＜0即可获得两数对应函数值之间的大小，从而问题即可获得解答；
（3）首先结合所给不等式进行转化，转化为左右两边都为抽象表达形式的不等式，再结合所证明的单调性即可获得问题的解答．

解答：证明：（1）令a=b=1，
则f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函数f（x）的零点．
（2）令a=x，b=

1

x

，
则f（1）=f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x），
任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，
∴f(

x2

x1

) =f(x2) +f(

1

x1

) =f(x2) -f(x1)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）∵f(

1

16

) =f(

1

4

) +f(

1

4

) =

1

2

+

1

2

=1，
∴不等式f(mx+

1

16

)＞1．即为：f(mx+

1

16

)＞f(

1

16

)，
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
∴0＜mx+

1

16

＜

1

16

，又∵m＞0，
解得：-

1

16m

＜x＜0
故不等式的解集为：x|-

1

16m

＜x＜0}．

点评：本题考查抽象函数及其应用．解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式．判断抽象函数的单调性通常应用定义法．值得同学们体会和反思．