题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)取的中点
,连接
,
,证明四边形
为平行四边形后即可得
,再根据线面平行的判定即可得证;
(Ⅱ)由等腰三角形的性质和线面垂直的性质可得、
,则可证
平面
,再根据面面垂直的判定即可得证;
(Ⅲ)建立空间直角坐标系后,表示出各点坐标,求出平面的一个法向量为
,
,利用
即可得解.
(Ⅰ)证明:取的中点
,连接
,
,
因为是
的中点,
所以,且
,
在三棱柱中,
因为是
的中点,所以
,且
,
所以且
,
所以四边形为平行四边形,所以
.
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)证明:因为,且
是
的中点,所以
,
因为平面
,
平面
,
所以,
又 ,
,
平面
,所以
平面
,
又,所以
平面
.
又平面
,
所以平面平面
.
(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则即
,
令,则
.
设直线与平面
所成角为
,
则.
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:
分组 | 频数(单位:名) |
使用“余额宝” | |
使用“财富通” | |
使用“京东小金库” | 30 |
使用其他理财产品 | 50 |
合计 | 1200 |
已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.
(1)求频数分布表中,
的值;
(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为
.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为
,求
的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为
”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.