题目内容
10．动圆G与圆O1：x2+y2+2x=0外切，同时与圆O2：x2+y2-2x-8=0内切，设动圆圆心G的轨迹为Γ．（1）求曲线Γ的方程；
（2）直线x=t（t＞0）与曲线Γ相交于不同的两点M，N，以MN为直径作圆C，若圆C与y轴相交于两点P，Q，求△PQC面积的最大值；
（3）已知A1（-2，0），A2（2，0），直线l：y=kx+m与曲线Γ相交于A，B两点（A，B均不与A1，A2重合），且以AB为直径的圆过点A2，求证：直线l过定点，并求出该点坐标．
分析 （1）求得圆O1，圆O2的圆心、半径，由两圆相切的条件，结合椭圆的定义，可得动圆圆心G的轨迹方程；
（2）设圆心为C（t，0）（0＜t＜2）．求得圆C的半径，弦长PQ，由三角形的面积公式，化简运用基本不等式，即可得到最大值；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理，结合直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件，化简整理，得到m，k的关系，进而得到直线恒过的定点．
解答 解：（1）圆O1：x2+y2+2x=0的圆心为（-1，0），半径为1，
圆O2：x2+y2-2x-8=0为（1，0），半径为3，
设圆G的半径为r，依题意得：|GO1|=r+1，|GO2|=3-r，
所以|GO1|+|GO2|=4＞|O1O2|=2，
所以G点轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆，
即有a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以曲线Γ的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）依题意，圆心为C（t，0）（0＜t＜2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$ 得y2=$\frac{12-3{t}^{2}}{4}$．
∴圆C的半径为r=$\frac{\sqrt{12-3{t}^{2}}}{2}$．
∵圆C与y轴相交于不同的两点P，Q，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜$\frac{\sqrt{12-3{t}^{2}}}{2}$，即0＜t＜$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴弦长|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{12-7{t}^{2}}$
∴△PQC的面积S=$\frac{1}{2}$t$\sqrt{12-7{t}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$（$\sqrt{7}$t）$\sqrt{12-7{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{7}}$•$\frac{7{t}^{2}+12-7{t}^{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
即有S=$\frac{1}{2}$t$\sqrt{12-7{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
当且仅当$\sqrt{7}$t=$\sqrt{12-7{t}^{2}}$即t=$\frac{\sqrt{42}}{7}$时，等号成立，
所以△PQC面积的最大值是$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即为3+4k2-m2＞0，
x1+x2=-$\frac{8mk}{3+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点A2（2，0），
由${k}_{A{A}_{2}}$•${k}_{B{A}_{2}}$=-1，即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，
即为y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
即$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{16mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0，
化简得7m2+16mk+4k2=0，
解得m1=-2k，m2=-$\frac{2k}{7}$，且满足3+4k2-m2＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-$\frac{2k}{7}$时，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$），直线过定点（$\frac{2}{7}$，0），
综上可知，直线l过定点，定点坐标为（$\frac{2}{7}$，0）．
点评 本题考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查弦长公式和相切的条件，同时考查椭圆的定义、方程和性质，直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| A． | 3 | B． | 8 | C． | 12 | D． | 20 |
| A． | {x|x＜0} | B． | {x|x＞0} | C． | {x|x＜1} | D． | {x|0＜x＜1} |
| A． | |a|≤|b|≤1 | B． | |b|≤|a|≤1 | C． | |a|≤1，|b|≤1 | D． | |a|+|b|≤1 |