Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a为参数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=lnx，f（1）=0，

求导f′（x）= ，f′（1）=1，

f（x）在x=1处的切线斜率k=1，则y﹣0=1×（x﹣1），整理得：y=x﹣1，；

∴函数f（x）在x=1处的切线方程y=x﹣1

（2）解：f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），定义域为（0，+∞） ，设g（x）=2ax2﹣3ax+1，

①当a=0时，g（x）=1，故f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以无极值点

②当a＞0时，△=9a2﹣8a，

若0＜a≤ 时△≤0，g（x）≥0，故f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上递增，所以无极值点．

若a＞ 时△＞0，设g（x）=0的两个不相等的实数根为x1，x2，且x1＜x2，

且 ，而g（0）=1＞0，则 ，

所以当x∈（0，x1），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2），g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以此时函数f（x）有两个极值点；

③当a＜0时△＞0，设g（x）=0的两个不相等的实数根为x1，x2，且x1＜x2，

但g（0）=1＞0，所以x1＜0＜x2，

所以当x∈（0，x2），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递増；

当x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

所以此时函数f（x）只有一个极值点．

综上得：

当a＜0时f（x）有一个极值点；

当0≤a≤ 时f（x）的无极值点；

当a＞ 时，f（x）的有两个极值点

（3）解：方法一：当0≤a≤ 时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上递增，

所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；

当 ＜a≤1时，g（1）=1﹣a≥0，x2≤1，f（x）在[1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；

当a＞1时，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函数f（x）在（1，x2）上递减，所以f（x）＜f（1）=0，不符合题意；

当a＜0时，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）

当 时，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此时f（x）＜0，不符合题意．

综上所述，a的取值范围是0≤a≤1．

方法二：g（x）=2ax2﹣3ax+1，注意到对称轴为 ，g（1）=1﹣a，

当0≤a≤1时，可得g（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；

当a＞1时，g（1）=1﹣a＜0，x2＞1，所以函数f（x）在（1，x2）上递减，此时f（x）＜f（1）=0，不符合题意；

当a＜0时，由（1）知lnx≤x﹣1，于是f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2）≤x﹣1+a（x2﹣3x+2）

当 时，x﹣1+a（x2﹣3x+2）＜0，此时f（x）＜0，不符合题意．

综上所述，s的取值范围是0≤a≤1

【解析】（1）根据导数的几何意义，求得切线的斜率，利用点斜式方程，即可求得函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f（x）极值点的个数；（3）方法一：由（2）可知：分类讨论，根据函数的单调性，求得f（x）的最值，即可求得a的取值范围； 方法二：设g（x）=2ax2﹣3ax+1，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．