Question

设f(x)=log2

x+1

x-1

+lo

g

2

(x-1)+log2(p-x)（p＞1），问f（x）是否存在最大值？若存在，请求出最大值；否则，说明理由．

Answer 1

分析：由对数的真数大于0可得自变量x的取值范围，即函数的定义域；将函数解析式化成log₂（x+1）（P-x）后，考虑（x+1）（P-x）这个二次函数的最大值就可得到原函数的最大值．

解答：解：解：∵函数f（x）中，自变量x满足

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

⇒1＜x＜P，（P＞1）
故f（x）的定义域是（1，p）；
∵函数f（x）=log₂

x+1

x-1

×（x-1）×（P-x）=log₂（x+1）（P-x）
∵（x+1）（P-x）≤(

1+P

2

)2
∴f（x）≤log₂(

1+P

2

)2=2log₂（1+P）-2．
当x=

1+P

2

时，取“=”．
故函数f（x）存在最大值，最大值为2log₂（p+1）-2．

点评：对数函数的定义域和最值．解决对数函数中的最值问题，一是利用对数函数的性质；二是转化为二次函数型，必须充分挖掘问题中的隐含条件进行合理地转化．