题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)设函数若至少存在一个
,使得
成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求导后代入求得
在
处的切线斜率,再利用点斜式求得切线方程即可.
(2)求导后分与
时,分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不等式即可.
(1)当时,
,
∴,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为
,即
(2)原问题等价于至少存在一个,使得
成立,
令,
则
,
①当时,
,则函数h(x)在[1,e]上单调递减,故h(x)min=h(e)=﹣2<0,符合题意;
②当时,令,
,解得
,则函数h(x)在
上单调递减,令
,解得
,则函数h(x)在
单调递增,
且,
,
1.当,即
时,在
上
,
单调递增,
此时不符合题意
2.当,即
时, 在
上
,
单调递减,
此时满足题意
3.当,即
时,
,不满足题意
综上,实数a的取值范围为.
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